烧烤店就餐烫伤，店家应承担赔偿责任。依据《侵权责任法》，店家对顾客有安全保障义务，烫伤属店家责任时应赔偿。未及时处理可能导致伤势恶化，增加赔偿金额及法律责任。
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烫伤赔偿需分情况处理。1. 轻微烫伤：与店家协商，要求赔偿医疗费、误工费等合理费用。2. 严重烫伤：立即就医并保存证据，报警或起诉店家，通过法律途径索赔，包括医疗费、误工费、精神损失费等。3. 店家拒绝赔偿：收集证据，如监控、医疗报告等，咨询律师，准备法律诉讼，确保权益得到保障。
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烫伤赔偿可通过协商或司法程序处理。协商适用于伤害较轻，双方愿意和解；司法程序则适用于伤害严重或协商不成，需法院裁决赔偿金额。